Siphons

Il est possible de modéliser des siphons dans le logiciel SIC grâce à la technique dite de la "fente de Preissmann" [1] [2] [3]. Cette méthode s’applique que ce soit pour les calculs en régime permanent (Fluvia) ou en régime transitoire (Sirène). Le programme de calcul de la géométrie (Talweg) détecte automatiquement les sections qui sont fermées à leur extrémité supérieure. Cela est possible pour les sections de type largeur-cote, abscisse-cote, dalot (toujours), circulaire (si la cote de berge est supérieure ou égale à la cote de fond + 2 fois le rayon) et trapézoïdales (avec un fruit négatif et données adhoc si la hauteur est suffisante pour que le plafond se referme). De toute façon, de manière interne, toutes ces sections sont transformées en format largeur-cote, et les algorithmes sont ensuite les mêmes pour toutes ces sections.

La technique dite de la fente de Preissmann consiste à créer une fente artificielle en haut de la section à partir de son plafond, pour transformer une section fermée en charge en une section ouverte à surface libre. Mais dans cette fente artificielle on ne tient pas compte de frottement. Pour être plus précis, le périmètre mouillé P, la surface S, la vitesse V et/ou le rayon hydraulique Rh=S/P utilisés dans le calcul de la perte de charge J sont limités à la section réelle du siphon (sans la fente) avec J=\frac{Q^2}{(K S R_{h}^{2/3})^2}

Mais la cote Z est calculée dans la section complète comprenant la fente artificielle.

Dans le calcul de la charge H on prend la vitesse V limitée à la section réelle, et le Z dans la fente. Les tables largeur-cote sont calculées par Talweg une fois pour toute et écrites dans le fichier xml. Ces tableaux sont également indiqués dans le fichier log généré par Talweg. Quand il y a une fente de Preissmann on peut vérifier que P ne change pas dans la fente. On peut aussi voir que S ne change pas non plus dans la fente dans ces tables.

L’avantage de cela c’est que tous les calculs sont les mêmes (hormis l’astuce sur P, S, V, Rh et H) avec ou sans fente, en permanent ou en transitoire. Les inconvénients sont que du volume est stocké dans cette fente, mais cela doit être limité si la fente est mince.

On peut montrer que les équations de Saint Venant posent problème avec une largeur L=0, ce que l’on aurait sans la fente de Preissmann d’où justement l’idée de cette astuce.

Par contre attention, on peut avoir l’impression que cela n’est pas le cas, car quand on regarde la section mouillée par exemple dans les résultats, on ne trouve pas exactement ce à quoi on s’attendrait. Par exemple si on a un dalot de 9 m de large par 4 m de haut on s’attendrait à avoir une surface de 36 m2. En fait on aura 36.0045 m2 (36 + 9/2*0.001). Cela est dû au fait que le plafond de la section est légèrement modifié lors du traitement par talweg, en mettant une section débutant la fente de Preissmann à 1 mm plus faut que le plafond initial. Au lieu d’avoir un plafond plat horizontal on a donc un léger toit pendu de hauteur 1mm, avec donc un petit volume en plus. Cela a pour but d’améliorer la stabilité numérique du schéma et d’avoir une dérivée \frac{dL}{dZ} mieux définie. Pour mieux visualiser cela on a augmenté le format d’écriture de S, P et L sur le fichier log de F8.2 à F9.3 (cf Talweg.ans, messages 53, 54, 55 et 56). Le périmètre mouillé P est quand à lui calculé sans cette petite modification car il n’intervient que dans le terme de frottement.

La fente doit être choisie de largeur petite (L=0.01 m par défaut dans SIC, mais on peut la changer section par section dans les options de la section, ou globalement pour une zone sélectionnée avec l’option "baguette magique" aussi appelée "construction automatique") afin de ne pas y stocker des volumes trop importants. Dans les réseaux d’assainissement, où il y a des regards, certains logiciels utilisent une astuce pour réduire la section de ces regards pour compenser le volume stocké artificiellement dans la fente, pour avoir une meilleure conservation du volume total dans le réseau.

On peut également choisir cette largeur de fente L pour avoir une célérité des ondes proche de celle des ondes sonores dans l’eau, soit environ 1500 ms-1 avec c=\sqrt{\frac{gS}{L}} .

Cette modification peut se faire également automatiquement avec l’option "baguette magique". Cela peut conduire par exemple à des fentes de l’ordre de 10-4 m à 10-6 m. Dans les schémas numériques explicites cela posait un problème car impliquait des pas de temps de calcul très petits afin d’avoir un nombre de Courant Cr< 1 avec C_r=\frac{(V+c)DT}{DX}, où V est la vitesse de l’eau, c la célérité des ondes, DT le pas de temps de calcul et DX le pas d’espace entre 2 sections de calcul.

Mais le schéma de Preissmann implicite n’est pas soumis aux mêmes contraintes. Il est inconditionnellement stable quel que soit le nombre de Courant. Mais numériquement un Cr très grand (ou aussi très petit ce qui n’est pas notre cas ici) introduit des biais numériques (diffusion et déphasage, cf thèse de Cunge). Par défaut dans SIC nous choisissons une largeur de fente de 0.01 m. Par exemple dans un dalot de 1 m2, pour un débit de 1 m3s-1, on a une célérité c de l’ordre de 30 ms-1 avec une fente de 0.01 m. Pour avoir c de l’ordre de 1500 ms-1 il faudrait une largeur de fente de l’ordre de 0.000005 m. L’avantage d’une fente aussi petite c’est que du coup les volumes stockés dans la fente sont faibles. L’inconvénient c’est que numériquement cela est un peu moins bien. C’est un compromis à trouver en cas de soucis.

Références bibliographiques :

[1Cunge J.A., Wegner M., 1964. "Intégration numérique des équations d’écoulement de Barré de Saint Venant par un schéma implicite de différences finies. Application au cas d’une galerie tantôt en charge, tantôt à surface libre". La Houille Blanche, n°1-1964, pp 33-39

[2Vasconcelos J.G., Wright S.J., 2004. "Numerical modeling of the transition between free surface and pressurized flow in storm sewers". Innovative Modeling of Urban Water Systems, Monograph 12, Chap 10, W. James, Ed., pp 189-214

[3Ukon T., Shigeta N., Watanabe M., Shiraishi H., Uotani M., 2008. "Correction methods for dropping of simulated water level utilising Preissmann and MOUSE slot models". 11th International Conference on Urban Drainage, Edinburgh, Scotland, UK, pp 1-9