Siphons

Il est possible de modéliser des siphons dans le logiciel SIC grâce à la technique dite de la "fente de Preissmann" [1]. Cette méthode s’applique que ce soit pour les calculs en régime permanent (Fluvia) ou en régime transitoire (Sirène). Le programme de calcul de la géométrie (Talweg) détecte automatiquement les sections qui sont fermées à leur extrémité supérieure. Cela est possible pour les sections de type largeur-cote, abscisse-cote, dalot (toujours), circulaire (si cote de berge supérieure ou égale à la cote de fond + 2 fois le rayon) et trapézoïdales (avec un fruit négatif et données adhoc). De toute façon, de manière interne, toutes ces sections sont transformées en format largeur-cote, et les algorithmes sont ensuite les mêmes pour toutes ces sections.

La technique dite de la fente de Preissmann consiste à créer une fente artificielle en haut de la section à partir de son plafond, pour transformer une section fermée en charge en une section ouverte à surface libre. Mais dans cette fente artificielle on ne tient pas compte de frottement. Pour être plus précis, le périmètre mouillé P, la surface S, la vitesse V et/ou le rayon hydraulique Rh=S/P utilisés dans le calcul de la perte de charge J sont limités à la section réelle du siphon (sans la fente) avec J=\frac{Q^2}{(K S R_{h}^{2/3})^2}

Mais la cote Z est calculée dans la section complète comprenant la fente artificielle.

Dans le calcul de la charge H on prend la vitesse V limitée à la section réelle, et le Z dans la fente. Les tables largeur-cote sont calculées par Talweg une fois pour toute et écrites dans le fichier xml. Quand il y a une fente de Preissmann on peut vérifier que P ne change pas dans la fente. On peut aussi voir que S ne change pas non plus dans la fente dans ces tables.

L’avantage de cela c’est que tous les calculs sont les mêmes (hormis l’astuce sur P, S, V, Rh et H) avec ou sans fente, en permanent ou en transitoire. Les inconvénients sont que du volume est stocké dans cette fente, mais cela doit être limité si la fente est mince.

La fente doit être choisie de largeur petite (L=0.01 m par défaut dans SIC, mais on peut la changer avec l’option "baguette magique") afin de ne pas y stocker des volumes trop importants. Dans les réseaux d’assainissement, où il y a des regards, certains logiciels utilisent une astuce pour réduire la section de ces regards pour compenser le volume stocké artificiellement dans la fente, pour avoir une meilleure conservation du volume.

On peut également choisir cette largeur de fente L pour avoir une célérité des ondes proche de celle des ondes sonores dans l’eau, soit environ 1500 m/s avec c=\sqrt{\frac{gS}{L}} .

Cette modification peut se faire avec l’option "baguette magique". Cela peut conduire par exemple à des fentes de l’ordre de 10-4 m à 10-6 m. Dans les schémas numériques explicites cela posait un problème car impliquait des pas de temps de calcul très petits afin d’avoir un nombre de Courant < 1 C_r=\frac{(V+C)DT}{DX}.

Mais le schéma de Preissmann implicite n’est pas soumis aux mêmes contraintes. Il est inconditionnellement stable quel que soit le nombre de Courant. Mais numériquement un Cr très grand (ou aussi très petit ce qui n’est pas notre cas ici) introduit des biais numériques (diffusion et déphasage, cf thèse de Cunge). Par défaut dans SIC nous choisissons une largeur de fente de 0.01 m. Par exemple dans un dalot de 1 m2, pour un débit de 1 m3/s, on a une célérité c de l’ordre de 30 m/s avec une fente de 0.01 m. Pour avoir c de l’ordre de 1500 m/s il faudrait une fente de l’ordre de 0.000005 m. L’avantage d’une fente aussi petite c’est que du coup les volumes stockés dans la fente sont faibles.

Références bibliographiques :

Vasconcelos J.G., Wright S.J., 2004. "Numerical modeling of the transition between free surface and pressurized flow in storm sewers". Innovative Modeling of Urban Water Systems, Monograph 12, Chap 10, W. James, Ed., pp 189-214

Ukon T., Shigeta N., Watanabe M., Shiraishi H., Uotani M., 2008. "Correction methods for dropping of simulated water level utilising Preissmann and MOUSE slot models". 11th International Conference on Urban Drainage, Edinburgh, Scotland, UK, pp 1-9

[1Cunge J.A., Wegner M., 1964. "Intégration numérique des équations d’écoulement de Barré de Saint Venant par un schéma implicite de différences finies. Application au cas d’une galerie tantôt en charge, tantôt à surface libre". La Houille Blanche, n°1-1964, pp 33-39