Résolution du système linéaire des équations de correction

On a trois variables inconnues pour chaque bief n°i :

  • en cote : \Delta Z^i_1 à l’amont
  • en cote : \Delta Z^i_n à l’aval
  • en débit : \Delta Q^i sur tout le bief

Soit N le nombre de biefs de maille. On pourrait résoudre le système des 3 N équations. Mais, de toute façon, il sera nécessaire de refaire, après correction des débits, un calcul général de ligne d’eau pour obtenir la cote dans chacune des sections des biefs.

On voit donc que les seules inconnues qui nous intéressent directement sont les \Delta Q^i.

Si l’on écrit les équations dans un ordre convenable on voit apparaître des blocs carrés d’ordre N :

\pmatrix{A&B&0\cr D&I&F\cr G&H&I\cr}.\pmatrix{\Delta Q\cr \Delta Z_1\cr \Delta Z_n\cr} = \pmatrix{C1\cr C2\cr C3\cr}

Matrice . Vecteur = Constante

Soit : M.V = K [8]

D, F sont des matrices diagonales
I est la matrice unité
H est une matrice triangulaire supérieure avec une diagonale principale nulle

Dans la première ligne de blocs du système, on range les équations de continuité des débits aux noeuds qui ne sont pas noeud aval de maille (remplissage du bloc A).

On complète ensuite par les relations d’égalité entre les cotes amont aux diffluences (remplissage des bloc B et C1).

Dans la deuxième ligne on a les équations de condensation.

Dans la troisième ligne on trouve les lois aval aux biefs aval de maille, ainsi que les relations d’égalité entre les cotes amont et les cotes aval des biefs aux nœuds qui ne sont pas nœud aval de maille.

En multipliant [8] par une matrice de passage P convenable :
(P.M).V = P.K

On obtient un système de N équations en \Delta Q :

A_0.\Delta Q = C_0 [9]

avec :
\left\{ {\matrix{A_0 = A - B.D + \chi_0.(H.D - G)\cr
C_0 = C_1 - \chi_0.C_3\cr
\chi_0 = B.F.{\chi_1}^{-1}\cr
\chi_1 = H.F - I\cr
I = \mbox{ Matrice unite}\cr}}

La méthode n’est valable, que si la matrice \chi_1 est inversible. Or celle-ci présente la particularité de toujours pouvoir se mettre sous la forme d’une matrice triangulaire supérieure avec la diagonale composée uniquement de 1. On peut alors inverser \chi_1 par la méthode de Gauss-Jordan. Le système [9] est résolu par la méthode Gauss avec un pivot partiel.