L’équation de transport diffusion

Initialement développé à partir de la problématique des développements d’algues dans les canaux, le module ALGEQUEAU a évolué pour prendre aussi en compte le transport sédimentaire.

Le but de ce module est donc de simuler dans le réseau d’irrigation le transport et l’évolution de la température et de différentes classes de nutriments, d’algues ou de sédiments en dérive ou fixés dans le lit du canal.

Classes de qualité

La qualité dans le réseau est représentée en chaque point par un vecteur

 C(x,t)=\left(\begin{array}{c}
C_1(x,t)\\
\vdots\\
C_n(x,t)\\
\end{array}
\right)\


C_k peut représenter :

  • une température (°C) ;
  • une concentration en nutriment (mg/L) ;
  • une concentration en algues dérivantes (kg/m3) ;
  • une masse linéique d’algues fixées (kg/m)
  • une concentration en sédiments dans l’eau (g/m3) ;
  • une masse linéique de sédiments dans le lit (g/m).

Équation de transport-diffusion

On cherche à résoudre pour les classes dérivantes l’équation de transport-diffusion dont l’expression générale est :

 \frac{\partial SC_k}{\partial t}+ \frac{\partial QC_k}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\left(DS\frac{\partial C_k}{\partial x}\right) + SE_k


avec :

  • S la surface mouillée de la section (m2) ;
  • Q le débit (m3/s) ;
  • D le coefficient de diffusion (m2/s) ;
  • E_k un terme source ou d’échange ([C_k]/s avec [C_k] l’unité de C_k).

Pour les classes fixes (algues ou sédiments), les termes de convection-diffusion disparaissent :

 \frac{dC_k}{dt}(x,t) = E_k

Calcul du terme d’échange

Le vecteur E des termes d’échanges est calculé à partir de la liste des lois d’évolutions de qualité rentrées par l’utilisateur en fonction de C et de paramètres p

 E_k = \mathcal{F}_k(C,p)


F_k somme les contributions de toutes les lois faisant varier C_k.

Résolution de l’équation

La résolution de l’équation d’évolution se fait par la méthode du gradient conjugué.