La ligne d’eau corrigée sera solution de l’équation :

$f(Z^{i}_{j} + \Delta Z^{i}_{j}, Z^{i}_{j+1} + \Delta Z^{i}_{j+1},Q^{i}_{j} + \Delta Q^{i}) = 0$ [2]

En développant [2], en série de Taylor limitée aux termes du premier ordre :

[2] - [1] => $a^{i}_{j}.\Delta Z^{i}_{j} + b^{i}_{j}.\Delta Z^{i}_{j+1} + c^{i}_{j}.\Delta Q^{i} = 0 $ [3]

avec :
$a_{j}^{i} = \frac{\partial f}{\partial Z^{i}_{j}}$   
$b_{j}^{i} = \frac{\partial f}{\partial Z^{i}_{j+1}}$   
$c_{j}^{i} = \frac{\partial f}{\partial Q^{i}}$

On sait que $a_{j}^{i}$ n’est pas nul puisque la résolution de [1] est faite par la méthode de Newton où intervient le rapport $\frac{f}{a^{i}_{j}$.

On pose :
$d^{i}_{j} = \frac{b^{i}_{j}}{a^{i}_{j}}$ et $e^{i}_{j} = \frac{c^{i}_{j}}{a^{i}_{j}}$

Pour un bief i de n sections, les (n-1) équations [3] deviennent :

$\Delta Z^{i}_{1} = d^{i}_{1}.\Delta Z^{i}_{2} + e^{i}_{1}.\Delta Q^{i} $

...

$\Delta Z^{i}_{j} = d^{i}_{1}.\Delta Z^{i}_{j+1} + e^{i}_{j}.\Delta Q^{i} $

...

$\Delta Z^{i}_{n-1} = d^{i}_{n-1}.\Delta Z^{i}_{n} + e^{i}_{n-1}.\Delta Q^{i} $

En condensant ces équations relatives à deux sections, on obtient une relation caractéristique du bief :

$\Delta Z^{i}_{1} = D^{i}_{n}.\Delta Z^{i}_{n} + E^{i}.\Delta Q^{i} $ [4]

avec :

• i = indice du bief
• 1 = indice de la section amont du bief
• n = indice de la section aval du bief
• $D^i = \prod_{j=1}^{n} d^i_j$
• $E^i = D^i \prod_{k=1}^{n} \frac{e^i_k}{\prod_{j=k}^{n} d^i_j}$ ( avec : $d^i_n = 1$ et $e^i_n = 0$ )

Les autres relations dont on dispose sont :

Pour tous les nœuds de la maille qui ne sont pas nœuds aval de maille :

Continuité des débits :

$\sum_{i=1}^{k} \varepsilon ^i \Delta Q^i =0$ [5]

avec :

• k = nombre de biefs de maille reliés au nœud
• $\varepsilon ^i = 1$ pour un bief amont
• $\varepsilon ^i = -1$ pour un bief aval

Égalité des cotes :

$Z^i_u + \Delta Z^i_u = Z^l_v + \Delta Z^l_v$ [6]

soit k - 1 relations, avec :

• u, v = 1 si le bief part du nœud et n si le bief arrive au nœud
• i, l = biefs reliés au nœud

Pour tous les nœuds aval de maille :

• Si la condition aval est une cote donnée : $\Delta Z^i_n = 0$ [7]
• Si la condition aval est une courbe de tarage aval (dans ce cas un seul bief par nœud aval) : $\Delta Z^i_n = g(\Delta Q^i) $