Équations de correction

La ligne d’eau corrigée sera solution de l’équation :

f(Z^{i}_{j} + \Delta Z^{i}_{j}, Z^{i}_{j+1} + \Delta Z^{i}_{j+1},Q^{i}_{j} + \Delta Q^{i}) = 0 [2]

En développant [2], en série de Taylor limitée aux termes du premier ordre :

[2] - [1] => a^{i}_{j}.\Delta Z^{i}_{j} + b^{i}_{j}.\Delta Z^{i}_{j+1} + c^{i}_{j}.\Delta Q^{i} = 0 [3]

avec :
a_{j}^{i} = \frac{\partial f}{\partial Z^{i}_{j}}   
b_{j}^{i} = \frac{\partial f}{\partial Z^{i}_{j+1}}   
c_{j}^{i} = \frac{\partial f}{\partial Q^{i}}

On sait que a_{j}^{i} n’est pas nul puisque la résolution de [1] est faite par la méthode de Newton où intervient le rapport \frac{f}{a^{i}_{j}.

On pose :
d^{i}_{j} = \frac{b^{i}_{j}}{a^{i}_{j}} et e^{i}_{j} = \frac{c^{i}_{j}}{a^{i}_{j}}

Pour un bief i de n sections, les (n-1) équations [3] deviennent :

\Delta Z^{i}_{1} = d^{i}_{1}.\Delta Z^{i}_{2} + e^{i}_{1}.\Delta Q^{i}

...

\Delta Z^{i}_{j} = d^{i}_{1}.\Delta Z^{i}_{j+1} + e^{i}_{j}.\Delta Q^{i}

...

\Delta Z^{i}_{n-1} = d^{i}_{n-1}.\Delta Z^{i}_{n} + e^{i}_{n-1}.\Delta Q^{i}

En condensant ces équations relatives à deux sections, on obtient une relation caractéristique du bief :

\Delta Z^{i}_{1} = D^{i}_{n}.\Delta Z^{i}_{n} + E^{i}.\Delta Q^{i} [4]

avec :

  • i = indice du bief
  • 1 = indice de la section amont du bief
  • n = indice de la section aval du bief
  • D^i = \prod_{j=1}^{n} d^i_j
  • E^i = D^i \prod_{k=1}^{n} \frac{e^i_k}{\prod_{j=k}^{n} d^i_j} ( avec : d^i_n = 1 et e^i_n = 0 )

Les autres relations dont on dispose sont :

Pour tous les nœuds de la maille qui ne sont pas nœuds aval de maille :

Continuité des débits :

\sum_{i=1}^{k} \varepsilon ^i \Delta Q^i =0 [5]

avec :

  • k = nombre de biefs de maille reliés au nœud
  • \varepsilon ^i = 1 pour un bief amont
  • \varepsilon ^i = -1 pour un bief aval
Égalité des cotes :

Z^i_u + \Delta Z^i_u = Z^l_v + \Delta Z^l_v [6]

soit k - 1 relations, avec :

  • u, v = 1 si le bief part du nœud et n si le bief arrive au nœud
  • i, l = biefs reliés au nœud

Pour tous les nœuds aval de maille :

  • Si la condition aval est une cote donnée : \Delta Z^i_n = 0 [7]
  • Si la condition aval est une courbe de tarage aval (dans ce cas un seul bief par nœud aval) : \Delta Z^i_n = g(\Delta Q^i)