Calcul des classes fixées en régime transitoire

L’équation différentielle de variation des classes
fixées est la suivante :

\frac{\partial C_k}{\partial t}(x,t)=E_k(x,t)

Avec :

  • C_k : la masse par unité
    de longueur de cours d’eau de la classe au point considéré ;
  • E_k : l’évolution de C_k en fonction du temps.

La discrétisation pour le temps j+1=t+\Delta t de cette équation est
faite par une méthode d’Euler semi-implicite :

C_k^{j+1}-C_k^{j}-\frac{\Delta t}{2}\left(E_k^{j}+E_k^{j+1}\right)=0

Sa résolution est ensuite réalisée dans les mêmes itérations de Newton
que les classes de qualité dérivantes.

La formule de l’itération de Newton pour une itération
i est :

C_k^{j+1,i}=C_k^{j+1,i-1}-\frac{f\left(C_k^{j+1,i-1}\right)}{f’\left(C_k^{j+1,i-1}\right)}=C_k^{j+1,i-1}-\frac{b^{i}}{a^{i}}

avec b_{i}=C_k^{j+1,i-1}-C_k^{j}-\frac{\Delta
t}{2}\left(E_k^{j}+E_k^{j+1,i}\right) et a_{i}=1-\frac{\Delta
t}{2}E’_k^{j+1,i}

E_k^{j+1,i} et E’_k^{j+1,i} sont fonction de C_k^{j+1,i-1} mais
aussi des classes de qualité dérivantes C_{k’}^{j+1,i-1}